Ci sono esperienze straordinarie che durano pochissimo tempo rispetto alla lunghezza media di una vita, ma quei momenti si imprimono indelebilmente nella mente di chi li ha trascorsi. Ne racconto uno come esperienza personale in un luogo che di solito non si ricorda con molta nostalgia se non, forse, solo per i compagni che assieme ad ognuno di noi in esso hanno vissuto e studiato: la scuola.
Per non rassegnarmi ai molti anni trascorsi da quell'episodio, tralascio l'anno ed il luogo in cui i fatti qui raccontati sono accaduti e li riporto, in forma romanzesca, usando il tempo presente e citando dei nomi di fantasia, tanto per restare in regola con la privacy.
Frequento la seconda classe di media superiore in un istituto tecnico commerciale. Età 16 anni. Il mio banco si trova in posizione centrale al penultimo posto e lo condivido con Ciano P. che a sua volta, bontà mia, lo condivide con me. Bontà mia lo cito per il fatto che il buon Ciano, oltre ai libri scolastici, si porta ogni giorno appresso una serie di altri documenti cartacei di informazione propagandista e di formazione ideologica: è un militante di Lotta Continua. Nel suo affollato seguito documentale non manca mai il libretto rosso di MaoTseTung, il Capitale di Marx in formato tascabile, trattati di Hegel, dichiarazioni di Marcuse, estratti di Habermas e, ovviamente, il giornale del suo movimento di lotta. Tutto questo materiale ha il buon gusto, vista l'abbondanza, di sparpagliarlo tra il suo ed il mio banco mescolando confusamente il materiale ideologico e propagandistico con quello scolastico. Ciano è di corporatura piccola e minuta. D'inverno indossa maglioni di due taglie più grandi a cui a volte abbina camicie che sembrano lenzuola. Il cappotto è per lui un sostantivo privo di significato: utilizza esclusivamente l'eskimo di ordinanza. Porta una zazzera bionda con ciuffo prospicente che gli copre spesso gli occhi, ma è segaligno, combattivo, ideologicamente inquadrato e maledettamente sicuro di sé: esattamente l'opposto di me. Ha un gran pregio rispetto ad altri compagni e compagne: si fa sempre gli affari suoi e non rompe le palle a nessuno tranne che non si cada in discorsi politici. Allora, apriti cielo! Diventa logorroico, provocatore e anche indisponente.
E' iniziata da qualche minuto la lezione di matematica con il professore Di Casio. Introduce le equazioni di secondo grado e ne spiega il metodo di soluzione. La classe è sonnolenta e svogliata. Solo Sergio P., seduto in primo banco e genio della classe, pare l'unico interessato alla faccenda. Di Casio è un professore bonario di età ormai avanzata e si vocifera che il presente sia l'ultimo anno di insegnamento prima dell'agognata pensione. E' calvo ed una corona di sottili e cortissimi capelli grigi gli circondano a malapena le ampie tempie. Una striscia sottilissima di baffetti di color sale e pepe gli sporca il labbro superiore. Ad un certo punto il professor Di Casio si zittisce e cala un silenzio irreale. Ha colto che la classe tutto sta facendo, tranne che ascoltare la sua lezione. Quel silenzio blocca le faccende di chi è in altre cose affaccendato e risveglia chi ha la mente assopita e pisolante. Quando tutta la classe é finalmente sintonizzata sulla dura realtà scolastica, il professore pronuncia un'affermazione tutt'altro che banale: "Vedete ragazzi, non avete voglia di ascoltare la lezione non solo perché avete difficoltà a comprendere la matematica, problema che io ho particolarmente a cuore e per cui mi sto dando dannatamente da fare perché voi siate in grado di superarlo, ma perché, cosa ancor più serie e grave, non capite nemmeno le proposizioni della lingua italiana". Pausa di silenzio glaciale. Non so perché, ma ho la sensazione che Ciano P., da come ha rizzato il collo e sporto leggermente la testa fuori dalla fila dei banchi che ci stanno davanti, abbia preso quell'acuta osservazione come una dichiarazione politicamente rilevante ed esce con un'affermazione ad alta voce che lascia allibita l'intera classe e dichiara: "Bella forza! Logico, la lingua italiana utilizza ventun lettere mentre le cifre in matematica sono solo dieci! Il confronto non regge, giusto?" Silenzio. Il suo sguardo fiero non smette di fissare quello di Di Casio il quale gli ordina: "P., vieni fuori che facciamo due chiacchiere".
Ciano, da buon materialista laico la cui unica trinità ammessa nella sua teologia politica era la troika Stalin, Lenin e MaoTseTung, alzandosi dal banco piega leggermente la testa abbassandola verso di me e tira sommessamente un porco sincopato e scandito in modo limpido. Con passi lenti si avvicina alla cattedra sfoggiando il suo maglione arancione che gli arriva alle ginocchia mentre i jeans, di taglia un po' corta, gli lasciano intravedere i calzini che si infilano negli scarponi anfibi. Ciano prende posizione sul lato destro della cattedra dove sta seduto il professore e volge le spalle alla lavagna. "Dunque dicevi?" - riprende Di Casio accompagnando la domanda allungando il braccio e stendendo la mano in segno di dare parola al povero Ciano. "Dicevo che dal punto di vista logico é più difficile comprendere una lingua come la nostra le cui parole sono composte da un alfabeto di ventun lettere rispetto alla matematica che utilizza solo dieci simboli formati dalle cifre dallo zero al nove. Non parliamo poi degli orientali come i Cinesi e i Giapponesi che di simboli ne utilizzano a migliaia. Tutto qui." Il professore Di Casio tira un sospiro e risponde: " Intanto, giusto per precisare ed utilizzare i termini in modo corretto, le cifre sono simboli utilizzati dall'aritmetica che è un ramo appartenente a quell'enorme albero che si chiama matematica la quale utilizza nel suo complesso un gran numero di altri simboli e segni. Poi, é vero che l'ortografia linguistica utilizza anche altri segni, ma non sono quelli che fanno la differenza." Pausa riflessiva. Ciano riprende: "Professore, il linguaggio è vastissimo. Quando lei ci spiega la matematica lo fa per il tramite del linguaggio parlato e scritto che ognuno utilizza normalmente per comunicare, altrimenti nessuno ci capirebbe un accidente né di matematica né di qualsiasi altra cosa." Di Casio stende il braccio sinistro e con il dito indice puntato verso Ciano P. declina perentorio: "Vai alla lavagna e scrivi quello che ora ti detterò. "Ciano si gira verso la lavagna e afferrato il gesso con le punta delle prime tre dita della mano sinistra (è un maledetto mancino come lui si definisce) attende la dettatura. "Dcfb" - pronuncia il professore. Ciano gira la testa verso Di Casio, poi verso la classe e con fare perplesso oscilla leggermente la testa, inarca all'ingiù le labbra e senza proferire alcuna parola, come nel suo stile crudo e diretto, fa trasparire il suo silenzioso pensiero: 'Che cazzo ha detto? ' Il professore scandisce chiaramente di nuovo: "Dcfb, ripeto letteralmente, d-c-f-b, chiaro?" Ciano scrive: "dcfb". "Bene - annuisce il professore - ora scrivi un simbolo successivo che secondo te potrebbe dare un significato alla frase". "Eh? E cosa ci devo mettere? Che cacchio ne so? Queste lettere non significano nulla!" Affiora un sorriso beffardo sulle labbra del professor Di Casio e i suoi sottili baffetti sembrano vibrare come piccole setole di una ruga in calore e sbotta: "Stai attento al linguaggio che usi. Se affermi che non, e sottolineo non, significano nulla, vuol dire che significano qualcosa, diverso da nulla. Altrimenti devi affermare che hanno un significato nullo, cioè uguale a nulla. Tradotto in lingua matematica dovresti scrivere come ora ti detto." Ciano attese impaziente ed il professore detta: 'dcfb' = 'nulla'; secondo te va bene questa formula o c'è qualcosa che non quadra?" "Va benissimo" - afferma Ciano. Riprende il professor Di Casio: "Dal punto di vista qualitativo, cioè del significato linguistico, questo è un risultato apprezzabile, ma dal punto di vista quantitativo è corretto?" E Ciano: "Boh! Ma che ne so." Pausa. "Non hai capito cosa intendo, vero P.? Allora, immagina che il segno di uguale sia il fulcro di una bilancia e sul piatto di sinistra ci metti le lettere che stanno a sinistra del segno di uguale e su quello di destra le lettere che stanno alla sua destra, considerando che sono dello stesso materiale e delle stesse dimensioni.... Allora?" Conosco perfettamente ogni espressione del volto di Ciano e comincio a vedere che le sue labbra si stringono in uno stretto sorriso che fanno apparire due fossette oblunghe ai lati della bocca, indice di disagio e di insofferenza: "Peseranno di più le lettere che stanno sul piatto di destra perché sono di più rispetto a quelle del piatto di sinistra: 'nulla' é una parola composta da cinque lettere mentre 'dcfb' sono solo quattro lettere." Di Casio: "Allora, almeno dal punto di vista quantitativo, 'dcfb' e 'nulla' non sono uguali, giusto?" "Giustissimo" - replica Ciano. "Quindi il segno di uguale non va." afferma Di Casio. "Non va", gli fa eco Ciano. "Però c'è qualcosa che non torna..." replica dubbioso il professore. "Scusa P., prima hai scritto dcfb = nulla. Ciò si intende, anche qualitativamente, che io posso invertire l'ordine dei membri dell'ugualgianza e il suo significato non cambia. Se pongo cioè: 'nulla' = 'dcfb', non ho mutato il valore semantico della prima uguaglianza, che ne pensi?" Ora appare un po' di rossore sulle gote di Ciano ed è sintomo, per lui rarissimo, che qualcuno lo sta prendendo per il culo: "Scusi professore, si spieghi meglio perché fino ad un momento fa lei era d'accordo che 'dcfb' sono lettere che abbinate non hanno significato. Quindi l'uguaglianza con 'nulla', dal punto di vista qualitativo, va bene. D'altronde è stato lei ad affermare che la corretta dicitura è affermare che 'sono prive di significato' e che ciò equivale appunto a 'nulla'. Quindi è corretto dal punto di vista qualitativo, cioè del significato, porre 'dcfb' = 'nulla'. Non si rimangi ciò che ha detto, altrimenti io sbaglio, ma sbaglia anche lei. E un professore che si intorta...." Di Casio si mette una mano sulla bocca e fissa per un attimo la classe in silenzio, poi sbotta: "Ma scusa, distrattissimo P, l'hai detto e scritto tu o non l'hai detto e scritto tu che 'dcfb' = 'nulla' e 'nulla' = 'dcfb' sono uguaglianze che affermano la stessa cosa? Lo confermi?" Ciano resta spiazzato dal rimbrotto e deciso rimanda: "Lo confermo!" "Bene - riprende il professore - scrivi allora la seguente frase: lo studente P. capisce il significato della parola 'dcfb'." Pausa. "Sei d'accordo con questa affermazione?" "Ma se abbiamo appena detto che la parola è priva di significato, cioè nulla, sta per caso giocando alle tre carte, professore?" - puntualizza subito Ciano. Il sorriso di Di Casio è ora apertamente più beffardo che mai: "Appunto, vedi che lo sai il significato di 'dcfb'? L'hai appena affermato tu che è priva di significato, cioè 'nulla', perciò ha un significato ben chiaro e puoi utilizzare questa parola in sostituzione di 'nulla' proprio in forza dell'ugugaglianza dove hai posto qualitativamente 'dcfb' come sinonimo di 'nulla'. Ora potremo tutti affermare tranquillamente, dopo questo tuo chiarimento che ci ha illuminati, che voi oggi state capendo un bel dcfb delle equazioni di secondo grado che io sto tentando disperatamente di insegnarvi. Il fatto è che quello che sembra non è. Il problema che ci siamo posti sul significato di una parola apparentemente priva di significato nella lingua scritta e parlata è il risultato di una convenzione che abbiamo stabilito tra noi. Ma non è una soluzione linguistica, ma matematica. Si è creato un nuovo elemento appartenente ad un sistema, detto insieme, a cui abbiamo aggiunto arbitrariamente per convenzione un nuovo vocabolo a quelli che linguisticamente vengono definiti sinonimi della parola 'nulla', come ad esempio sono le parole 'niente', 'nessuno', 'privo','vuoto' (ma non in fisica) eccetera eccetera. Per dimostrarvi che la soluzione è matematica potremmo sostituire le lettere con numeri reali interi e allora si che ci si diverte un sacco! La prima logica sostituzione numerica ora ve la scriverà P. alla lavagna, perché, come lui ha affermato, ha capito che 'dcfb' = 'nulla'. Scrivi dunque P. alla lavagna: 'dcfb = 'un numero' che tu ora correttamente riporterai " Colpo di scena di Ciano che, devo ammettere, è un bravo combattente che non ci sta a farsi mettere nell'angolo del ring sotto la stringente ed incalzante logica di Di Casio e afferma: "Guardi professore che lei è fuori strada. Il linguaggio ammette molte sfumature che lei sta abilmente usando, ma in questo modo lei sta proprio avvalorando la mia tesi e cioè che il linguaggio è molto più difficile da comprendere rispetto alla matematica perché esso può essere soggetto ad ambiguità e sottintesi che rendono a volte difficile, se non impossibile, capire il significato reale delle cose." Stiamo tutti assistendo ad un match inatteso e siamo curiosi di vedere come va a finire. Di Casio è troppo bravo, troppo forte e anche molto umile e modesto, ma Ciano è duro a morire e azzanna come un mastino. Di Casio si alza pigramente dalla seggiola. Scende, si avvicina a P. e lo invita sedersi in cattedra al suo posto. Ora riconosco il sorriso di Ciano, più rilassato e soddisfatto per la performance appena esibita. Sale trotterellando sul piedistallo e si siede paciosamente sulla seggiola del professore. "Ti ho fatto sedere in cattedra, caro P., perché hai fatto un'affermazione 'magistrale' sulla differenza tra convenzione linguistica e convenzione matematica, differenza vera, che porta però all'autentica falsità della tua convinzione. E' effettivamente vera l'affermazione che mentre la lingua parlata e scritta è spesso soggetta ad ambiguità, doppi sensi, ossimori, cioè descrivere situazioni con oggetti in antitesi tra loro e altre diaboliche formule che sono riassunte in una disciplina oratoria chiamata retorica mentre la matematica, diversamente, esprime sempre e comunque significati univoci, senza contraddizioni ed escludendo situazioni diverse rispetto ad un risultato che sia vero o falso. Questo metodo, detto anche scientifico, porta a scoprire perché le cose sono effettivamente vere e riproducibili da quelle che sono invece false. Un buon avvocato può difendere un uomo accusato di omicidio in base al suo fornito corredo linguistico, oltre ovviamente che alla sua preparazione giuridica, ma se la polizia scientifica trova che le uniche impronte sulla pistola oggetto dell'omicidio (dove le prove balistiche confermano che quella, e solo quella pistola ha sparato il colpo mortale) corrispondono alle impronte del suo difeso, difficilmente il giudice assolverà l'imputato. Le prove scientifiche utilizzano modelli matematici che asseriscono o il vero o il falso, la retorica no. Dunque torniamo a noi ed al nostro insieme di elementi in cui abbiamo inserito la parola 'dcfb'. Mi sapresti dire tu P. a quale numero logico corrisponde secondo te l'uguaglianza della parola 'dcfb' escludendo, perché l'abbiamo già visto, l'aspetto quantitativo ed introducendo invece un'altra forma di logica matematica insiemistica?" "No!" - sentenzia Ciano. Punto. "Allora hai gettato la spugna ed ammetti che la matematica ha aspetti più profondi ed universali rispetto alla lingua. Te ne dò un esempio molto semplice" Di Casio scrive alla lavagna: 'due più due uguale a....', poi si gira verso la classe e dice: "Se io portassi un cinese davanti a questa lavagna e gli facessi vedere questa scritta che cosa mi direbbe?" " 'Na minchia... - sbotta Ciano che subito aggiunge - scusi professore ma mi porta proprio il cinese che utilizza gli ideogrammi...., suvvia!" " Ti perdono perché hai utilizzato un'imprecazione siciliana ed io sono siciliano e vorrei proprio conoscerlo il cinese siciliano. Comunque il senso della risposta è corretta. Non saprebbe cosa rispondere e quella frase gli apparirebbe come un sequela di segni senza senso. Ma se io ora cancello questa frase e scrivo: ' 2+2=......' cosa scriverebbe il cinese al posto dei puntini del risultato? Facile, no. Il linguaggio matematico è universale, la lingua scritta e parlata no. Il fatto è che la matematica è la lingua con cui è scritto l'intero libro della natura dell'universo. Per cui l'immensa vastità delle sue applicazioni è praticamente infinita. Attenzione! Anche l'infinito ha un suo simbolo in matematica ed è quell'otto disteso che appare in molte formule. Non esiste un infinito univoco. Ci sono tanti infiniti. Forse esiste un numero infinito di infiniti. Gli infiniti hanno poi particolarità uniche in matematica. Ad esempio nella teoria degli insiemi, studiata e introdotta dal matematico tedesco Georg Cantor con cui egli sviluppò il concetto dei numeri, gli insiemi di numeri infiniti sono delle stesse dimensioni anche se un insieme è contenuto nell'altro." Pausa prolungata di silenzio. "In che senso?" - sbotta Sergio B. il genio secchione della classe. La classe rumoreggia frenetica e se la ride perché finalmente anche il genio è in difficoltà ed il popolo inneggia sottobanco alla loquacità di Ciano, ma ciò gli porta male perché Di Casio è spietato e risponde: "Ora te lo spiega P. con il mio aiuto." Ciano congiunge le mani e le oscilla avanti ed indietro con un sorriso beffardo come a dire: 'Ma chi? Io dovrei spiegare una teoria matematica a quel dinosauro che divora numeri a tonnellate? Ma quando mai! Ma fatemi il piacere! Al massimo io contesto.' "Procediamo - inizia Di Casio - P. scendi dalla cattedra e ridammi il mio posto." Ciano scende con tono dimesso e con un sorriso un po' spento." Allora scrivi tutti i numeri naturali interi partendo dal numero 1 per poi fermarti prima di uscire con il gesso dal bordo della lavagna." Ciano rimane per un attimo smarrito, inarca un sopraccigli, allarga le narici e dice: "Devo scrivere 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16......ma fino a quando?" "Lunghezza a tuo piacere, poi fai seguire una serie di puntini per indicare che la serie continua." Ciano scrive alla lavagna fino al numero 16 e poi fa seguire una serie di puntini fino al bordo della lavagna. "Bene - sentenzia il professore - se tu potessi continuare, con che numero finiresti?" " E che ne so? - risponde tra il serio ed il faceto il buon Ciano - forse non finirei mai!" "Oddio - sentenzia Di Casio - ti auguro lunga vita, ma non penso possa essere eterna, convieni?" "Convengo professore, ma si da il caso che i numeri sono infiniti, per quanto ne so, o no?" "Sì, lo sono. Convengo. Ora, però, nella riga successiva devi riportare solo i numeri pari lasciando lo spazio vuoto dove ci sono i dispari." Ciano scrive: '2,4,6,8,10,12,14,16.......' "Bene - afferma soddisfatto Di Casio - rispetto a quelli di prima quanti sono?" "La metà - afferma sicuro Ciano -, sono esattamente otto numeri rispetti ai sedici iniziali" Il professore fa una piccola pausa di silenzio e poi chiede a P.: "Puoi affermare quindi che la riga superiore ha sedici numeri e che la riga inferiore ha otto numeri che derivano dal primo insieme, quello più grande. In parole più semplici gli otto numeri della seconda riga sono contenuti nei sedici della prima, giusto?" "Giusto!" risponde perentorio Ciano. "Potresti quindi affermare che il sotto insieme dei numeri pari è inferiore a quello dell'insieme di numeri totali della riga superiore perché in esso già contenuti, giusto?" "Giusto!" conferma il buon Ciano."Giusto un accidente! - sbotta il professor Di Casio - guarda bene perché così non è." Ciano gira attorno alla lavagna e guarda dietro a mo' di farsa per vedere se dietro la lavagna c'è la soluzione dell'enigma. "Ma dove guardi, sciagurato! - sbotta il professore - devi guardare nelle righe che hai scritto e dedurre che così non è." Ciano si avvicina alle righe scritte sulla lavagna e stringe gli occhi per vedere la soluzione, ma non gli viene un accidente. "Ora scrivi - ordina seccamente Di Casio - sotto ad ogni numero pari, iniziando dal numero 2, la normale sequenza dei numeri naturali come nella prima riga. Otterai così sotto il numero 2, il numero 1, sotto il numero 4, il numero 2, sotto il numero 6 il numero 3, eccetera eccetera. Conterai, quindi, da uno ad uno, tutti i numeri pari finché saranno terminati tutti i numeri pari esistenti nell'universo! Quanti sono?" "Infiniti!" - risponde quasi urlando Ciano. "Bravo! Vedi, hai dimostrato la teoria degli insiemi infiniti con il quale si dimostra che un insieme infinito contenuto in un altro insieme infinito è di uguale grandezza. I due insiemi si definiscono matematicamente equipotenti. Siamo d'accordo?" "Perfettamente!" sentenzia Ciano. Il professore ora volge lo sguardo verso Sergio B. e, quasi sommessamente, gli dice: "Hai visto? P. ti ha spiegato in maniera chiara ed esaustiva la teoria degli insiemi infiniti. Soddisfatto?" Sergio B. non proferisce alcuna parola perché qualsiasi risposta potrebbe essere usata contro di lui. "Deve essere chiaro a tutti che l'infinito rappresenta una sorta di limite per le soluzioni matematiche. Quando un matematico incontra questo simbolo deve ammettere che esiste un universo sconosciuto oltre o, forse, entro di esso e nulla potrà portare a soluzioni che siano completamente accettabili sotto il profilo della verità matematica.
"Ma mi dice ora che cavolo di numeri devo mettere dopo 'dcfb'? Quello proprio non l'ho capito!" - sbotta seccato Ciano P. "Bravo. Proprio bravo. - con fare sconsolato ribatte Di Casio - ma a cosa è servito allora tutto il discorso fatto finora?" Risponde Ciano: "Scusi, abbiamo parlato di numeri, ma le lettere cosa c'entrano?" "Scrivi in una riga tutto l'alfabeto della lingua italiana" - Di Casio accompagna l'ordine perentorio indicando con il braccio sinistro e il suo indice tesi come un violino. "P. scrive velocemente in un'unica riga l'intero alfabeto ed il gesso, sotto le dita fortemente arcuate, ogni tanto stride in maniera orrenda. "Ora - prosegue il professore - sotto ad ogni lettera partendo dalla 'A' scrivi la sequenza dei numeri partendo dal numero 1, come se dovessi contare tutte le lettere dell'alfabeto." "Ecco fatto - annuncia trionfante Ciano - sono ventuno." "Ma va? - sbotta il professor Di Casio - non pensavo...." E la classe se la ride alla grande. "Veramente non pensavo neanch'io eppure, nonostante Cantor, è cosi!" - ammicca pericolosamente il buon Ciano P. che sembra un sorcetto arancione che scherza con un grigio gattone di cento chili. "Senti Einstein - lo rintuzza il professore - dimmi quali numeri ci sono sotto le lettere 'd,c,f,b' e riscrivili a parte. Ciano estrapola e scrive: 4,3,6,2. "E allora? Cos'hai da dire? Deduci, se ce la fai." Ciano scrive dopo le cifre il segno di uguale e ne viene fuori: '4362' = 'dcfb'. "Va' abbastanza bene. Ci sarebbe da aggiungere l'ambiguità dei numeri a doppia cifra assegnati a partire dalla lettera "L" che è la numero 10 della serie, ma questo sarà argomento per una prossima lezione. Inoltre la simbologia degli insiemi prevederebbe altri segni ma, visto che voi manco sapevate di cosa stavamo parlando, possiamo essere soddisfatti del risultato raggiunto."
Purtroppo, con mio grande rammarico, non ci fu nessun'altra "prossima lezione".
Questa mitica e romanzata ora di matematica restò indelebilmente impressa per sempre nella mia mente. Degli insiemi non sapevamo praticamente nulla. Dopo quel giorno si aprirono nuovi orizzonti in merito alla portata universale dell'univoca lingua matematica.
By Eugenio Acran - a.s. 1971/1972
P.S.: La prima presenza di tematiche sugli ‘Insiemi’ si trova nei programmi per la scuola media del 1963, poi rivisti nel 1979. Nella scuola secondaria a partire dal 1985 si diffondono le sperimentazioni su larga scala. In particolare dei programmi PNI (Piano Nazionale dell’Informatica). (Tratto da http://www.treccani.it/scuola/lezioni/in_aula/matematica/insiemi/ciarrapico.html)
E' iniziata da qualche minuto la lezione di matematica con il professore Di Casio. Introduce le equazioni di secondo grado e ne spiega il metodo di soluzione. La classe è sonnolenta e svogliata. Solo Sergio P., seduto in primo banco e genio della classe, pare l'unico interessato alla faccenda. Di Casio è un professore bonario di età ormai avanzata e si vocifera che il presente sia l'ultimo anno di insegnamento prima dell'agognata pensione. E' calvo ed una corona di sottili e cortissimi capelli grigi gli circondano a malapena le ampie tempie. Una striscia sottilissima di baffetti di color sale e pepe gli sporca il labbro superiore. Ad un certo punto il professor Di Casio si zittisce e cala un silenzio irreale. Ha colto che la classe tutto sta facendo, tranne che ascoltare la sua lezione. Quel silenzio blocca le faccende di chi è in altre cose affaccendato e risveglia chi ha la mente assopita e pisolante. Quando tutta la classe é finalmente sintonizzata sulla dura realtà scolastica, il professore pronuncia un'affermazione tutt'altro che banale: "Vedete ragazzi, non avete voglia di ascoltare la lezione non solo perché avete difficoltà a comprendere la matematica, problema che io ho particolarmente a cuore e per cui mi sto dando dannatamente da fare perché voi siate in grado di superarlo, ma perché, cosa ancor più serie e grave, non capite nemmeno le proposizioni della lingua italiana". Pausa di silenzio glaciale. Non so perché, ma ho la sensazione che Ciano P., da come ha rizzato il collo e sporto leggermente la testa fuori dalla fila dei banchi che ci stanno davanti, abbia preso quell'acuta osservazione come una dichiarazione politicamente rilevante ed esce con un'affermazione ad alta voce che lascia allibita l'intera classe e dichiara: "Bella forza! Logico, la lingua italiana utilizza ventun lettere mentre le cifre in matematica sono solo dieci! Il confronto non regge, giusto?" Silenzio. Il suo sguardo fiero non smette di fissare quello di Di Casio il quale gli ordina: "P., vieni fuori che facciamo due chiacchiere".
Ciano, da buon materialista laico la cui unica trinità ammessa nella sua teologia politica era la troika Stalin, Lenin e MaoTseTung, alzandosi dal banco piega leggermente la testa abbassandola verso di me e tira sommessamente un porco sincopato e scandito in modo limpido. Con passi lenti si avvicina alla cattedra sfoggiando il suo maglione arancione che gli arriva alle ginocchia mentre i jeans, di taglia un po' corta, gli lasciano intravedere i calzini che si infilano negli scarponi anfibi. Ciano prende posizione sul lato destro della cattedra dove sta seduto il professore e volge le spalle alla lavagna. "Dunque dicevi?" - riprende Di Casio accompagnando la domanda allungando il braccio e stendendo la mano in segno di dare parola al povero Ciano. "Dicevo che dal punto di vista logico é più difficile comprendere una lingua come la nostra le cui parole sono composte da un alfabeto di ventun lettere rispetto alla matematica che utilizza solo dieci simboli formati dalle cifre dallo zero al nove. Non parliamo poi degli orientali come i Cinesi e i Giapponesi che di simboli ne utilizzano a migliaia. Tutto qui." Il professore Di Casio tira un sospiro e risponde: " Intanto, giusto per precisare ed utilizzare i termini in modo corretto, le cifre sono simboli utilizzati dall'aritmetica che è un ramo appartenente a quell'enorme albero che si chiama matematica la quale utilizza nel suo complesso un gran numero di altri simboli e segni. Poi, é vero che l'ortografia linguistica utilizza anche altri segni, ma non sono quelli che fanno la differenza." Pausa riflessiva. Ciano riprende: "Professore, il linguaggio è vastissimo. Quando lei ci spiega la matematica lo fa per il tramite del linguaggio parlato e scritto che ognuno utilizza normalmente per comunicare, altrimenti nessuno ci capirebbe un accidente né di matematica né di qualsiasi altra cosa." Di Casio stende il braccio sinistro e con il dito indice puntato verso Ciano P. declina perentorio: "Vai alla lavagna e scrivi quello che ora ti detterò. "Ciano si gira verso la lavagna e afferrato il gesso con le punta delle prime tre dita della mano sinistra (è un maledetto mancino come lui si definisce) attende la dettatura. "Dcfb" - pronuncia il professore. Ciano gira la testa verso Di Casio, poi verso la classe e con fare perplesso oscilla leggermente la testa, inarca all'ingiù le labbra e senza proferire alcuna parola, come nel suo stile crudo e diretto, fa trasparire il suo silenzioso pensiero: 'Che cazzo ha detto? ' Il professore scandisce chiaramente di nuovo: "Dcfb, ripeto letteralmente, d-c-f-b, chiaro?" Ciano scrive: "dcfb". "Bene - annuisce il professore - ora scrivi un simbolo successivo che secondo te potrebbe dare un significato alla frase". "Eh? E cosa ci devo mettere? Che cacchio ne so? Queste lettere non significano nulla!" Affiora un sorriso beffardo sulle labbra del professor Di Casio e i suoi sottili baffetti sembrano vibrare come piccole setole di una ruga in calore e sbotta: "Stai attento al linguaggio che usi. Se affermi che non, e sottolineo non, significano nulla, vuol dire che significano qualcosa, diverso da nulla. Altrimenti devi affermare che hanno un significato nullo, cioè uguale a nulla. Tradotto in lingua matematica dovresti scrivere come ora ti detto." Ciano attese impaziente ed il professore detta: 'dcfb' = 'nulla'; secondo te va bene questa formula o c'è qualcosa che non quadra?" "Va benissimo" - afferma Ciano. Riprende il professor Di Casio: "Dal punto di vista qualitativo, cioè del significato linguistico, questo è un risultato apprezzabile, ma dal punto di vista quantitativo è corretto?" E Ciano: "Boh! Ma che ne so." Pausa. "Non hai capito cosa intendo, vero P.? Allora, immagina che il segno di uguale sia il fulcro di una bilancia e sul piatto di sinistra ci metti le lettere che stanno a sinistra del segno di uguale e su quello di destra le lettere che stanno alla sua destra, considerando che sono dello stesso materiale e delle stesse dimensioni.... Allora?" Conosco perfettamente ogni espressione del volto di Ciano e comincio a vedere che le sue labbra si stringono in uno stretto sorriso che fanno apparire due fossette oblunghe ai lati della bocca, indice di disagio e di insofferenza: "Peseranno di più le lettere che stanno sul piatto di destra perché sono di più rispetto a quelle del piatto di sinistra: 'nulla' é una parola composta da cinque lettere mentre 'dcfb' sono solo quattro lettere." Di Casio: "Allora, almeno dal punto di vista quantitativo, 'dcfb' e 'nulla' non sono uguali, giusto?" "Giustissimo" - replica Ciano. "Quindi il segno di uguale non va." afferma Di Casio. "Non va", gli fa eco Ciano. "Però c'è qualcosa che non torna..." replica dubbioso il professore. "Scusa P., prima hai scritto dcfb = nulla. Ciò si intende, anche qualitativamente, che io posso invertire l'ordine dei membri dell'ugualgianza e il suo significato non cambia. Se pongo cioè: 'nulla' = 'dcfb', non ho mutato il valore semantico della prima uguaglianza, che ne pensi?" Ora appare un po' di rossore sulle gote di Ciano ed è sintomo, per lui rarissimo, che qualcuno lo sta prendendo per il culo: "Scusi professore, si spieghi meglio perché fino ad un momento fa lei era d'accordo che 'dcfb' sono lettere che abbinate non hanno significato. Quindi l'uguaglianza con 'nulla', dal punto di vista qualitativo, va bene. D'altronde è stato lei ad affermare che la corretta dicitura è affermare che 'sono prive di significato' e che ciò equivale appunto a 'nulla'. Quindi è corretto dal punto di vista qualitativo, cioè del significato, porre 'dcfb' = 'nulla'. Non si rimangi ciò che ha detto, altrimenti io sbaglio, ma sbaglia anche lei. E un professore che si intorta...." Di Casio si mette una mano sulla bocca e fissa per un attimo la classe in silenzio, poi sbotta: "Ma scusa, distrattissimo P, l'hai detto e scritto tu o non l'hai detto e scritto tu che 'dcfb' = 'nulla' e 'nulla' = 'dcfb' sono uguaglianze che affermano la stessa cosa? Lo confermi?" Ciano resta spiazzato dal rimbrotto e deciso rimanda: "Lo confermo!" "Bene - riprende il professore - scrivi allora la seguente frase: lo studente P. capisce il significato della parola 'dcfb'." Pausa. "Sei d'accordo con questa affermazione?" "Ma se abbiamo appena detto che la parola è priva di significato, cioè nulla, sta per caso giocando alle tre carte, professore?" - puntualizza subito Ciano. Il sorriso di Di Casio è ora apertamente più beffardo che mai: "Appunto, vedi che lo sai il significato di 'dcfb'? L'hai appena affermato tu che è priva di significato, cioè 'nulla', perciò ha un significato ben chiaro e puoi utilizzare questa parola in sostituzione di 'nulla' proprio in forza dell'ugugaglianza dove hai posto qualitativamente 'dcfb' come sinonimo di 'nulla'. Ora potremo tutti affermare tranquillamente, dopo questo tuo chiarimento che ci ha illuminati, che voi oggi state capendo un bel dcfb delle equazioni di secondo grado che io sto tentando disperatamente di insegnarvi. Il fatto è che quello che sembra non è. Il problema che ci siamo posti sul significato di una parola apparentemente priva di significato nella lingua scritta e parlata è il risultato di una convenzione che abbiamo stabilito tra noi. Ma non è una soluzione linguistica, ma matematica. Si è creato un nuovo elemento appartenente ad un sistema, detto insieme, a cui abbiamo aggiunto arbitrariamente per convenzione un nuovo vocabolo a quelli che linguisticamente vengono definiti sinonimi della parola 'nulla', come ad esempio sono le parole 'niente', 'nessuno', 'privo','vuoto' (ma non in fisica) eccetera eccetera. Per dimostrarvi che la soluzione è matematica potremmo sostituire le lettere con numeri reali interi e allora si che ci si diverte un sacco! La prima logica sostituzione numerica ora ve la scriverà P. alla lavagna, perché, come lui ha affermato, ha capito che 'dcfb' = 'nulla'. Scrivi dunque P. alla lavagna: 'dcfb = 'un numero' che tu ora correttamente riporterai " Colpo di scena di Ciano che, devo ammettere, è un bravo combattente che non ci sta a farsi mettere nell'angolo del ring sotto la stringente ed incalzante logica di Di Casio e afferma: "Guardi professore che lei è fuori strada. Il linguaggio ammette molte sfumature che lei sta abilmente usando, ma in questo modo lei sta proprio avvalorando la mia tesi e cioè che il linguaggio è molto più difficile da comprendere rispetto alla matematica perché esso può essere soggetto ad ambiguità e sottintesi che rendono a volte difficile, se non impossibile, capire il significato reale delle cose." Stiamo tutti assistendo ad un match inatteso e siamo curiosi di vedere come va a finire. Di Casio è troppo bravo, troppo forte e anche molto umile e modesto, ma Ciano è duro a morire e azzanna come un mastino. Di Casio si alza pigramente dalla seggiola. Scende, si avvicina a P. e lo invita sedersi in cattedra al suo posto. Ora riconosco il sorriso di Ciano, più rilassato e soddisfatto per la performance appena esibita. Sale trotterellando sul piedistallo e si siede paciosamente sulla seggiola del professore. "Ti ho fatto sedere in cattedra, caro P., perché hai fatto un'affermazione 'magistrale' sulla differenza tra convenzione linguistica e convenzione matematica, differenza vera, che porta però all'autentica falsità della tua convinzione. E' effettivamente vera l'affermazione che mentre la lingua parlata e scritta è spesso soggetta ad ambiguità, doppi sensi, ossimori, cioè descrivere situazioni con oggetti in antitesi tra loro e altre diaboliche formule che sono riassunte in una disciplina oratoria chiamata retorica mentre la matematica, diversamente, esprime sempre e comunque significati univoci, senza contraddizioni ed escludendo situazioni diverse rispetto ad un risultato che sia vero o falso. Questo metodo, detto anche scientifico, porta a scoprire perché le cose sono effettivamente vere e riproducibili da quelle che sono invece false. Un buon avvocato può difendere un uomo accusato di omicidio in base al suo fornito corredo linguistico, oltre ovviamente che alla sua preparazione giuridica, ma se la polizia scientifica trova che le uniche impronte sulla pistola oggetto dell'omicidio (dove le prove balistiche confermano che quella, e solo quella pistola ha sparato il colpo mortale) corrispondono alle impronte del suo difeso, difficilmente il giudice assolverà l'imputato. Le prove scientifiche utilizzano modelli matematici che asseriscono o il vero o il falso, la retorica no. Dunque torniamo a noi ed al nostro insieme di elementi in cui abbiamo inserito la parola 'dcfb'. Mi sapresti dire tu P. a quale numero logico corrisponde secondo te l'uguaglianza della parola 'dcfb' escludendo, perché l'abbiamo già visto, l'aspetto quantitativo ed introducendo invece un'altra forma di logica matematica insiemistica?" "No!" - sentenzia Ciano. Punto. "Allora hai gettato la spugna ed ammetti che la matematica ha aspetti più profondi ed universali rispetto alla lingua. Te ne dò un esempio molto semplice" Di Casio scrive alla lavagna: 'due più due uguale a....', poi si gira verso la classe e dice: "Se io portassi un cinese davanti a questa lavagna e gli facessi vedere questa scritta che cosa mi direbbe?" " 'Na minchia... - sbotta Ciano che subito aggiunge - scusi professore ma mi porta proprio il cinese che utilizza gli ideogrammi...., suvvia!" " Ti perdono perché hai utilizzato un'imprecazione siciliana ed io sono siciliano e vorrei proprio conoscerlo il cinese siciliano. Comunque il senso della risposta è corretta. Non saprebbe cosa rispondere e quella frase gli apparirebbe come un sequela di segni senza senso. Ma se io ora cancello questa frase e scrivo: ' 2+2=......' cosa scriverebbe il cinese al posto dei puntini del risultato? Facile, no. Il linguaggio matematico è universale, la lingua scritta e parlata no. Il fatto è che la matematica è la lingua con cui è scritto l'intero libro della natura dell'universo. Per cui l'immensa vastità delle sue applicazioni è praticamente infinita. Attenzione! Anche l'infinito ha un suo simbolo in matematica ed è quell'otto disteso che appare in molte formule. Non esiste un infinito univoco. Ci sono tanti infiniti. Forse esiste un numero infinito di infiniti. Gli infiniti hanno poi particolarità uniche in matematica. Ad esempio nella teoria degli insiemi, studiata e introdotta dal matematico tedesco Georg Cantor con cui egli sviluppò il concetto dei numeri, gli insiemi di numeri infiniti sono delle stesse dimensioni anche se un insieme è contenuto nell'altro." Pausa prolungata di silenzio. "In che senso?" - sbotta Sergio B. il genio secchione della classe. La classe rumoreggia frenetica e se la ride perché finalmente anche il genio è in difficoltà ed il popolo inneggia sottobanco alla loquacità di Ciano, ma ciò gli porta male perché Di Casio è spietato e risponde: "Ora te lo spiega P. con il mio aiuto." Ciano congiunge le mani e le oscilla avanti ed indietro con un sorriso beffardo come a dire: 'Ma chi? Io dovrei spiegare una teoria matematica a quel dinosauro che divora numeri a tonnellate? Ma quando mai! Ma fatemi il piacere! Al massimo io contesto.' "Procediamo - inizia Di Casio - P. scendi dalla cattedra e ridammi il mio posto." Ciano scende con tono dimesso e con un sorriso un po' spento." Allora scrivi tutti i numeri naturali interi partendo dal numero 1 per poi fermarti prima di uscire con il gesso dal bordo della lavagna." Ciano rimane per un attimo smarrito, inarca un sopraccigli, allarga le narici e dice: "Devo scrivere 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16......ma fino a quando?" "Lunghezza a tuo piacere, poi fai seguire una serie di puntini per indicare che la serie continua." Ciano scrive alla lavagna fino al numero 16 e poi fa seguire una serie di puntini fino al bordo della lavagna. "Bene - sentenzia il professore - se tu potessi continuare, con che numero finiresti?" " E che ne so? - risponde tra il serio ed il faceto il buon Ciano - forse non finirei mai!" "Oddio - sentenzia Di Casio - ti auguro lunga vita, ma non penso possa essere eterna, convieni?" "Convengo professore, ma si da il caso che i numeri sono infiniti, per quanto ne so, o no?" "Sì, lo sono. Convengo. Ora, però, nella riga successiva devi riportare solo i numeri pari lasciando lo spazio vuoto dove ci sono i dispari." Ciano scrive: '2,4,6,8,10,12,14,16.......' "Bene - afferma soddisfatto Di Casio - rispetto a quelli di prima quanti sono?" "La metà - afferma sicuro Ciano -, sono esattamente otto numeri rispetti ai sedici iniziali" Il professore fa una piccola pausa di silenzio e poi chiede a P.: "Puoi affermare quindi che la riga superiore ha sedici numeri e che la riga inferiore ha otto numeri che derivano dal primo insieme, quello più grande. In parole più semplici gli otto numeri della seconda riga sono contenuti nei sedici della prima, giusto?" "Giusto!" risponde perentorio Ciano. "Potresti quindi affermare che il sotto insieme dei numeri pari è inferiore a quello dell'insieme di numeri totali della riga superiore perché in esso già contenuti, giusto?" "Giusto!" conferma il buon Ciano."Giusto un accidente! - sbotta il professor Di Casio - guarda bene perché così non è." Ciano gira attorno alla lavagna e guarda dietro a mo' di farsa per vedere se dietro la lavagna c'è la soluzione dell'enigma. "Ma dove guardi, sciagurato! - sbotta il professore - devi guardare nelle righe che hai scritto e dedurre che così non è." Ciano si avvicina alle righe scritte sulla lavagna e stringe gli occhi per vedere la soluzione, ma non gli viene un accidente. "Ora scrivi - ordina seccamente Di Casio - sotto ad ogni numero pari, iniziando dal numero 2, la normale sequenza dei numeri naturali come nella prima riga. Otterai così sotto il numero 2, il numero 1, sotto il numero 4, il numero 2, sotto il numero 6 il numero 3, eccetera eccetera. Conterai, quindi, da uno ad uno, tutti i numeri pari finché saranno terminati tutti i numeri pari esistenti nell'universo! Quanti sono?" "Infiniti!" - risponde quasi urlando Ciano. "Bravo! Vedi, hai dimostrato la teoria degli insiemi infiniti con il quale si dimostra che un insieme infinito contenuto in un altro insieme infinito è di uguale grandezza. I due insiemi si definiscono matematicamente equipotenti. Siamo d'accordo?" "Perfettamente!" sentenzia Ciano. Il professore ora volge lo sguardo verso Sergio B. e, quasi sommessamente, gli dice: "Hai visto? P. ti ha spiegato in maniera chiara ed esaustiva la teoria degli insiemi infiniti. Soddisfatto?" Sergio B. non proferisce alcuna parola perché qualsiasi risposta potrebbe essere usata contro di lui. "Deve essere chiaro a tutti che l'infinito rappresenta una sorta di limite per le soluzioni matematiche. Quando un matematico incontra questo simbolo deve ammettere che esiste un universo sconosciuto oltre o, forse, entro di esso e nulla potrà portare a soluzioni che siano completamente accettabili sotto il profilo della verità matematica.
"Ma mi dice ora che cavolo di numeri devo mettere dopo 'dcfb'? Quello proprio non l'ho capito!" - sbotta seccato Ciano P. "Bravo. Proprio bravo. - con fare sconsolato ribatte Di Casio - ma a cosa è servito allora tutto il discorso fatto finora?" Risponde Ciano: "Scusi, abbiamo parlato di numeri, ma le lettere cosa c'entrano?" "Scrivi in una riga tutto l'alfabeto della lingua italiana" - Di Casio accompagna l'ordine perentorio indicando con il braccio sinistro e il suo indice tesi come un violino. "P. scrive velocemente in un'unica riga l'intero alfabeto ed il gesso, sotto le dita fortemente arcuate, ogni tanto stride in maniera orrenda. "Ora - prosegue il professore - sotto ad ogni lettera partendo dalla 'A' scrivi la sequenza dei numeri partendo dal numero 1, come se dovessi contare tutte le lettere dell'alfabeto." "Ecco fatto - annuncia trionfante Ciano - sono ventuno." "Ma va? - sbotta il professor Di Casio - non pensavo...." E la classe se la ride alla grande. "Veramente non pensavo neanch'io eppure, nonostante Cantor, è cosi!" - ammicca pericolosamente il buon Ciano P. che sembra un sorcetto arancione che scherza con un grigio gattone di cento chili. "Senti Einstein - lo rintuzza il professore - dimmi quali numeri ci sono sotto le lettere 'd,c,f,b' e riscrivili a parte. Ciano estrapola e scrive: 4,3,6,2. "E allora? Cos'hai da dire? Deduci, se ce la fai." Ciano scrive dopo le cifre il segno di uguale e ne viene fuori: '4362' = 'dcfb'. "Va' abbastanza bene. Ci sarebbe da aggiungere l'ambiguità dei numeri a doppia cifra assegnati a partire dalla lettera "L" che è la numero 10 della serie, ma questo sarà argomento per una prossima lezione. Inoltre la simbologia degli insiemi prevederebbe altri segni ma, visto che voi manco sapevate di cosa stavamo parlando, possiamo essere soddisfatti del risultato raggiunto."
Purtroppo, con mio grande rammarico, non ci fu nessun'altra "prossima lezione".
Questa mitica e romanzata ora di matematica restò indelebilmente impressa per sempre nella mia mente. Degli insiemi non sapevamo praticamente nulla. Dopo quel giorno si aprirono nuovi orizzonti in merito alla portata universale dell'univoca lingua matematica.
By Eugenio Acran - a.s. 1971/1972
P.S.: La prima presenza di tematiche sugli ‘Insiemi’ si trova nei programmi per la scuola media del 1963, poi rivisti nel 1979. Nella scuola secondaria a partire dal 1985 si diffondono le sperimentazioni su larga scala. In particolare dei programmi PNI (Piano Nazionale dell’Informatica). (Tratto da http://www.treccani.it/scuola/lezioni/in_aula/matematica/insiemi/ciarrapico.html)
Disegno di Maurits Cornelis Escher
